Um sicher zu gehen, dass kein Fehler der iOS Software vorliegt, sollte das iPhone über den Computer auf die Werkseinstellungen zurückgesetzt werden. Danach die persönlichen Daten manuell einrichten und, ohne ein Backup zu benutzen, die Bluetooth Funktion testen.
iPhone, iPad oder iPod touch auf die Werkseinstellungen zurücksetzen - Apple Support
Wenn das iPhone dann andere Bluetooth Geräte erkennt, dann kann man das Backup zur Datenwiederherstellung verwenden.
Hier wären auch noch einmal Artikel von Apple zu diesem Thema:
Bluetooth-Zubehör kann nicht mit iPhone, iPad oder iPod touch verbunden werden - Apple Support
Bluetooth-Zubehör von Drittanbietern mit dem iPhone, iPad oder iPod touch koppeln - Apple Support