MacBook Air Display schwarz mit blauen vertikalen streifen

Starte mal Dein MacBook Air im Wiederherstellungsmodus (dabei wird eine zusätzliche Partition auf der Festplatte gestartet), damit ein softwarebezogener Fehler endgültig ausgeschlossen werden kann:

Informationen zu macOS-Wiederherstellung - Apple Support

Wenn das auch nicht funktioniert, dann wird es wohl ein Hardwaredefekt sein (vermutlich ist es die Grafikkarte). Hier bleibt Dir dann nichts anderes übrig als zu einem autorisiertem Apple-Händler zu gehen.

Hast Du kein Backup (z.B. über Time Machine)?

Wenn nicht ist die Einrichtung ohne Display schwierig.

In einem solche Fall kannst Du maximal die Daten händisch sichern, falls Du einen zweiten Rechner hast:

Starte Dein MacBook Air im Festplattenmodus.

In diesem Modus verhält sich Dein MacBook Air wie eine externe Festplatte. D.h. Du kannst ihn per Kabel an einem anderen Rechner anschließen und das MacBook Air wird als externe Festplatte erkannt. Nun kannst Du die Daten händisch kopieren.

Ob sich eine Reparatur lohnt, hängt von verschiedenen Faktoren ab. U.a. wie alt das MacBook Air ist und was genau defekt ist. Ich würde an Deiner stelle zu einem autorisiertem Apple Vertragshändler gehen und dort mal nachfragen. Hier wird man Dir sagen können, ob es sich lohnt oder nicht.