E-mails empfangen funktioniert nicht

Wenn es sich um den Mail Account von einem Drittanbieter handelt, könnte es sein, dass ein anwendungsspezifisches Passwort verwendet werden muss.

Anwendungsspezifische Passwörter verwenden - Apple Support

Oder ist es der Mail Account von Apple über iCloud?

Dann einmal diese Schritte probieren:

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Du benötigst Unterstützung beim Senden oder Empfangen von E-Mails auf dem iPhone, iPad oder iPod touch

1. Stelle sicher, dass du über eine Internetverbindung verfügst. Öffne versuchsweise apple.com/de in Safari auf dem iPhone, iPad oder iPod touch.
2. Rufe iCloud.com auf einem Mac oder PC auf, um festzustellen, ob du E-Mails über deine iCloud-E-Mail empfangen kannst.
3. Tippe auf "Einstellungen" > [dein Name] > "iCloud", und aktiviere Mail auf deinem iPhone, iPad oder iPod touch. Gehe in iOS 10.2 oder älter zu "Einstellungen" > "iCloud".
4. Vergewissere dich, dass neue Daten automatisch auf dein Gerät gepusht werden. Tippe auf "Einstellungen" > "Passwörter & Accounts" > "Datenabgleich", und aktiviere "Push". Sende anschließend eine E-Mail an deinen Account, um festzustellen, ob "Push" funktioniert.

• • Auf einem Gerät mit iOS 10 tippe auf "Einstellungen" > "Mail" > "Accounts" > "Datenabgleich", und aktiviere "Push".
  • Auf einem Gerät mit iOS 9 und älter tippe auf "Einstellungen" > "Mail, Kontakte, Kalender" > "Datenabgleich", und aktiviere "Push".

1. Gehe zurück zu "Datenabgleich". Tippe anschließend auf deinen iCloud-Account, und aktiviere "Push". Wenn du mehrere iCloud Mail-Accounts hast, kannst du die Push-Funktion immer nur für einen dieser Accounts verwenden. Stelle sicher, dass "Push" für deinen primären iCloud Mail-Account aktiviert ist.
2. Schalte dein Gerät aus und wieder ein.

Wenn du noch immer keine E-Mails senden oder empfangen kannst, deaktiviere sämtliche in den Schritten 3, 4 und 5 genannten Einstellungen, und aktiviere sie anschließend wieder. 

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aus: Unterstützung bei der Verwendung von iCloud Mail erhalten - Apple Support

Hier wären noch weitere Lösungsvorschläge von Apple:

Empfang von E-Mails auf deinem iPhone, iPad oder iPod touch nicht möglich - Apple Support