Hallo Elisabeth!
Hast du eine bestehende Internetverbindung auf deinem iPhone? Funktioniert es zum Beispiel in Safari auf eine Internetseite aufzurufen?
Ist dir irgendeine Veränderung aufgefallen, bevor die Probleme begonnen haben?
Schau dir mal diese Apple Support Artikel an über iMessages und Nachrichten.
iMessage-Apps auf dem iPhone, iPad und iPod touch verwenden - Apple Support
Du kannst keine Nachrichten auf deinem iPhone, iPad oder iPod touch senden oder empfangen
Siehst du denn deine GMX Mails, wenn du dich im Internet bei GMX anmeldest?
Verwendest du die Mail App von Apple?
Empfang von E-Mails auf deinem iPhone, iPad oder iPod touch nicht möglich
Überprüfe am Besten auch deine Internetverbindung und versuche dich mit einem anderen Netzwerk zu verbinden.
Keine Verbindung zu einem WLAN-Netzwerk auf dem iPhone, iPad oder iPod touch - Apple Support
Ich hoffe, dass dir diese Schritte bereits weiterhelfen können.
Liebe Grüße!