Ich habe eine App aus Familienfreigabe heruntergeladen und werde dann nach dem installieren und der ersten Benutzung aufgefordert die App zu kaufen.

Handelt es sich dabei nicht vielleicht um einen In-App-Kauf? Diese fallen bei den meisten Entwicklern noch nicht unter die Familienfreigabe.

Ja, das bedeutet aber nicht automatisch, dass auch die In-App-Käufe Teil der Familienfreigabe sind. Diese Möglichkeit besteht erst ab iOS 14 und ist wohl noch bin kaum einem Entwickler unterstützt.