Wie kann ich mich vergewissern, wenn der Computer schwarz bleibt und nur dreimal piepst - 5 Sekunden Pause- dreimal piepst etc.?

Je nach Modell kann man die Module entnehmen und ggf. kontrollieren oder austauschen.

MacBook Pro: Speicher entfernen oder installieren - Apple Support

Das ist bei diesem Modell sehr einfach möglich, dabei gleich an eine Aufrüstung denken - 2x8 GB sollte er locker verkraften (auch wenn in den Spezifikationen nur 2x4 steht). Und wenn er schon offen ist, gleich die Festplatte gegen eine SSD austauschen....

How-to-Videos gibt es auf Youtube zuhauf.

Worauf du besonders achten musst, ist daß keine elektrischen Funken überschlagen können. Setze dich nicht auf einen Bürostuhl mit Rollen, der sich elektrisch aufladen kann, beispielsweise, wenn er über einen Teppichboden aus Kunststoff rollt. Und trage keine synthetische Kleidung, am besten ist Baumwollkleidung wie jeans und T-Shirt. Elektrostatik kann die Memory Module beschädigen.

Wenn das Gehäuse schon mal geöffnet ist, lohnt es sich auch, daraus den Staub zu entfernen. Da sammelt sich immer was an.

Sehr guter Hinweis, danke für die Ergänzung.

Man kann auch - bevor man an die "Innereien" geht - z.B. ein nicht lackiertes Heizungsrohr anfassen, um sich zu entladen. Oder man benutzt ein Erdungsarmband, das direkt mit dem Null-Leiter der nächsten Steckdose verbunden ist.