Hallo Rheingauerbub,
danke dir für deinen Beitrag!
Nur zu meinem Verständnis, du bekommst weiterhin SMS Nachrichten, nur werden dir die Benachrichtigen dafür nicht mehr auf dem Bildschirm angezeigt, ist dies korrekt?
Bitte aktualisiere dein iPhone, falls es noch nicht auf der aktuellsten iOS Version sein sollte: iPhone, iPad oder iPod touch aktualisieren.
Du kannst auch gerne einen erzwungenen Neustart ausprobieren: Neustart des iPhone erzwingen. Manchmal werden Probleme schon durch einen erzwungenen Neustart gelöst.
Ansonsten überprüfe bitte die Mitteilungen zu Nachrichten: Ändern der Mitteilungen zu Nachrichten auf dem iPhone. Ich habe einmal eine Bildschirmaufnahme von meinen Einstellungen dazu gemacht:

Sehen die Einstellungen bei dir auch so aus? Gerne kannst du auch eine Bildschirmaufnahme davon machen und hier hochladen, dann kann sich die Community ein besseres Bild von deiner Situation machen: Bildschirmfoto auf dem iPhone aufnehmen.
Was das Icon angeht, kannst du bitte in der App-Bibliothek nach der Nachrichten App suchen: Organisiere den Home-Bildschirm und die App-Bibliothek auf deinem iPhone. Ist diese dort zu finden?
Alles Gute für dich!