Hallo Oecologist,
offensichtlich hast Du auf Deinem iPhone einen E-Mail Account mit POP3 eingerichtet. Bei POP3, werden die E-Mails vom Server "abgeholt" und sind dann dort nicht mehr vorhanden (es sei denn, man hat explizit eingestellt, dass man Kopien auf dem Server belassen möchte. Was dann aber wieder andere Probleme nach sich zieht).
Da heutzutage für die E-Mail-Korrespondenz häufig mehr als ein Gerät genutzt wird, ist POP3 eigentlich nicht mehr state-of-the-art, da hier -wie gesagt- die Nachrichten vom Server abgerufen und dort gelöscht werden. Zwar gibt es die Möglichkeit eine Kopie der Nachrichten auf dem Server zu belassen, aber diese Nachrichten würden dann beim synchronisieren mit einem zweiten Gerät wieder mit abgeholt usw.
Hier solltest Du mMn mal über dem Umstieg auf IMAP nachdenken, sofern Dein E-Mail-Provider das unterstützt (was heutzutage annähernd alle sind). Der Umstieg ist kein Hexenwerk und ist genau so schnell eingerichtet wie ein POP3-Postfach.
Aber das nur als Hintergrundinformation:
Was Dein Problem angeht wäre es wichtig zu wissen welche Accounts, neben dem POP3-Postfach, noch auf Deinem iPhone eingerichtet sind?
Falls kein weiterer Account eingerichtet ist, empfehle ich Dir Dein iCloud-Postfach über IMAP einzubinden. Wenn das erfolgt ist, sollte das Verschieben bzw. Bewegen der E-Mails in einem "Rutsch" von Deinem iPhone in das iCloud-Postfach kein Problem sein.
Durch Verwendung von IMAP verbleiben die E-Mails auf dem Server und werden nicht explizit auf eines Deiner Geräte geladen. Das hat den Vorteil, dass Du jetzt das iCloud-Postfach auf dem Mac einbinden kannst und hast auf beiden/allen Geräten Zugriff auf die E-Mails.
Wenn dann alle E-Mails in das iCloud-Postfach verschoben sind, kannst Du -falls gewünscht- Deinen ursprünglichen E-Mail-Account auf dem iPhone löschen, als IMAP erneut einrichten und die E-Mails wieder zurückbewegen.
Das Bewegen von E-Mails funktioniert folgendermaßen:
-Öffne die Mail-App
-Navigiere in das Postfach, in dem sich die E-Mails befinden
-Tippe oben rechts auf "Bearbeiten"
-Tippe oben links auf "Alle auswählen"
-Tippe unten in der Mitte auf "Bewegen"
-Tippe oben links auf "zurück"
-Tippe auf das iCloud-Postfach
-Wähle den Ordner (bspw. Eingang) in den Du die E-Mails verschieben möchtest
Ich nutze auf meinem Gerät(en) kein POP3 und kann es daher nicht testen, aber grundsätzlich sollte sich das Bewegen von E-Mails nicht unterscheiden.
Hier noch der Artikel zum Einrichten Deines iCloud-Postfachs
iCloud für Mail auf all deinen Geräten einrichten - Apple Support (DE)