Hallo Tangobonn,
lieben Dank für deine erneute Rückmeldung!
Da du beschreibst, dass du auch die Apps von 1+1 und Web.de verwendest, werden dir die Benachrichtigungen zu den Mails angezeigt, wenn du diese Apps verwendest? So ließe sich das Phänomen entweder auf die Accounts oder die Mail-App von Apple isolieren, falls die Benachrichtigungen auch bei den Apps der Anbieter nicht funktionieren würde. Vielleicht könntest du dies noch als Schritt testen.
Könntest du das Phänomen bitte testen, während dein iPhone mit dem WLAN verbunden ist oder geladen wird? In diesem Apple Support Artikel Empfang von E-Mails auf deinem iPhone, iPad oder iPod touch nicht möglich - Apple Support (DE) ist folgende Information zu finden:
Unter iOS 11 und neuer sowie unter iPadOS ist die Standardeinstellung "Automatisch" festgelegt. Das Gerät ruft neue Daten nur dann im Hintergrund ab, wenn es geladen wird oder per WLAN verbunden ist.
Dies könnte in deinem Fall bereits eine Erklärung für das Verhalten sein. Ich würde zudem dien Support von 1+1 und Web.de kontaktieren und fragen, ob deine Accounts Push-Benachrichtigungen überhaupt unterstützen.
Alles Gute dir!