Hallo bastian210,
bitte gehe einmal auf deinem iPhone in die App Kalender. Dort wird unten in der Mitte "Kalender" angezeigt, tippe dort drauf und gehen dann neben dem Kalender "Familie" auf das Info Zeichen.
Du bist hier dann im Bereich zum Bearbeiten:

Unter "Geteilt mit" sollten die Familienmitglieder aufgeführt sein, du kannst jedoch auch eine neue Person hinzufügen. Dafür gehst du auf "Neue Person" und wählst dann den gewünschten Kontakt und gehst auf "Hinzufügen".
Ich habe dir auch noch einmal das Benutzerhandbuch rausgesucht, welches sich genau mit diesem Thema befasst. Dort findest du weitere Informationen dazu: Teilen von iCloud-Kalendern auf dem iPhone - Apple Support (DE).
Liebe Grüße