Wenn du den mini im Festplattenmodus gestartet hast und die "Macintosh HD" der mini nicht auf dem Desktop deines MB Pro erscheint, sind zwei Ursachen möglich:
A die Einstellungen im Finder

B Defekt/unleserliches Format der "Macintosh HD" im Mac mini
Schließ deinen mini nach Möglichkeit an einen Monitor an und schreib dir mit dem 2021er MB einen bootfähigen USB Stick/bootfähige USB SSD mit MacOS Catalina (Anleitung hierzu folgt bei Bedarf); dann häng das bootfähige Medium mit Catalina an den USB-Bus des mini, schalte ihn mit einem gedrückter "option"-Taste ein, boote ihn auf diese Weise in die Startoptionen

und versuche MacOS Catalina auf dem mini zu installieren, was problemlos ablaufen sollte, wenn der mini mitsamt Festplatte technisch einwandfrei arbeiten.