Hey LydiaB,
wie Dutchman schon andeutete, ist das Modelljahr 2013 des iMac mit nativem MacOS Catalina 10.15.7 über die Ziellinie

Neben den von PreCognition vorgeschlagenen Alternativen bliebe dir allerdings noch die Option, ein gepatchtes MacOS (über MacOS Big Sur 11.7.4 bis hin zu MacOS Ventura 13.2.1) zu installieren, ein MacOS also, das zwar seitens Apple als nicht mehr kompatibel mit dem Typ oder dem Modelljahr deines Mac deklariert wird, das aber von einem äußerst fachkundigen Entwicklerteam für diese "nicht-kompatiblen" Rechner lauffähig gestaltet wurde.
Google mal "OpenCore Legacy Patcher"...
Diese im Vergleich zu Catalina weiter verbesserten und vor allem in puncto Sicherheit optimiertenen MacOS stellen natürlich mehr oder weniger höhere Anforderungen an die Hardware deines iMac, die in teils deutlich spürbaren Geschwindigkeitseinbussen resultieren werden, die jedoch zu einem nicht unwesentlichen Anteil durch die Installation des gepatchten MacOS auf eine moderne und schnelle über USB 3 angebundene externe SATA SSD (z.B.)

kompensiert werden, von denen du den Rechner möglicherweise schneller booten und betreiben kannst als von der in die Jahre gekommenen antiken internen mechanischen SATA HDD oder dem Fusion Drive.
Lies dir die Anleitungen zur Installation des gepatchten MacOS sorgfältig durch; mittlerweile ist die Installation eines gepatchten MacOS mit dem OpenCore-Patcher in Version 0.6.1 mehr ein Kinderspiel, wenn du mit der Hard- und Software deines iMac einigermaßen vertraut bist – wenn nicht, solltest du die Finger davon lassen...
Auf meinem Mac Pro3,1 aus 2008! läuft MacOS Ventura 13.2.1 tadellos

Liebe Grüße
Manfred