Time Machine versteckt Backups auf interner Festplatte

Sämtliche Time-Machine-Backups vom MacBook Air (Baujahr ca. 2016, 1 TB HD) auf externen Festplatten werden zwar "ausgeführt", dann aber abgebrochen und erschienen nicht auf der externen HD, obwohl der frei verfügbare Speicherplatz dort langsam immer kleiner wird: Laut Finder aber ist die Festplatte leer, d.h. er werden keine Ordner oder Dateien angezeigt.

Gleichzeitig ist die interne Festplatte des MBA zu über 700 GB belegt, obwohl die eigenen Daten inkl. System etc. nur max. 350 GB einnehmen. Der Rest erscheint weder im Finder noch z.B. in GrantPerspective oder beim Auflisten der Dateiverzeichnisse im Terminal mit "ls -ali".

Jetzt haben wir durch Zufall festgestellt, dass Time Machine in der Ansicht für die Wiederherstellung von Dateien aus den Backups diese doch anzeigt – und zwar selbst dann, wenn die externe Festplatte nicht angeschlossen ist!

D.h. also wohl, dass Time Machine Backups auf der internen Festplatte macht und diese irgendwie vor Finder oder der bash "versteckt" …

Das besonders kuriose: Selbst wenn ich eine externe Festplatte komplett neu formatiere und anschließe und Time Machine sage, es soll die Backups nun auf dieser externen Festplatte ablegen … wird zwar ein Backup erstellt – es erscheint aber wieder nicht auf der externen HD (obwohl dort der freie Speicherplatz geringen wird!), und auch nicht auf der internen … aber dann, wenn man versucht, eine ältere Datei aus den (nirgends angezeigten!) Backups wieder herzustellen.

Ich arbeite seit 1996 mit Unix und seit 2001 (als Mac OS X "unix-like" wurde) mit Macs. Aber sowas hab ich noch nie gesehen oder erlebt – und ich habe selbst ca. ein dutzend Macs bisher gehabt und dutzende weitere in diversen Institutionen betreut.

Aber jetzt bin ich mit meinem "Latein" am Ende!

Hat irgendjemand eine Idee, wie man:

a) Time Machine dazu zwingen kann, die Backups wirklich auf der externen Festplatte zu speichern (auf der internen ist es ja auch eigentlich ziemlich unsinnig …)

b) sich die schon (offenbar auf der internen Disk) abgelegten Backups anzeigen lassen kann.

Vielen Dank im Voraus für jegliche Hilfe!