Kein verfügbares Volume beim neu installieren von macOS

Mein Macbook Air 6.1 (11", Anfang 2014) fährt nicht mehr hoch. Beim einschalten zeigt sich der Ordner mit Fragezeichen.

Ich habe einen SMC und einen NVRAM Reset versucht. Beides hat nicht geholfen.

Danach der Schritt zur Wiederherstellung bzw. in das Festplattendienstprogramm zur eventuellen Fehlerbehebung. Ich hab nur eine Partition Namens "Mac OS X Base System" und diese per Erste-Hilfe überprüft. Das Protokoll sagt, dass das Volume anscheinen in Ordnung ist und ich kann es also demzufolge auch nicht reparieren.

Klasse, dachte ich mir, dann kann ich ja einfach OS neu installieren und meine Dateien behalten. Das habe ich versucht, aber beim Versuch der neu-installation von Mountain Lion (schlägt er vor), kann ich kein Volume auswählen, auf dem OS X installiert werden könnte.

Woran liegt das? Ich hab ja ein Volume, dass vorhanden ist.

Mein einziger Hinweis bis hier: Beim Überprüfen sagt er, dass die Kapazität 1,19 GB beträgt und davon 1,15 GB belegt sind. Ist es möglich, dass ich den Rechner einfach zu voll gemacht habe und deswegen nicht genug Speicherplatz vorhanden ist für eine neu-installation, deswegen also das Volume gar nicht als Option angezeigt wird?

Was sind nun meine Alternativen?

Anfängerfehler: Ich habe kein vernünftiges Back-Up und hatte gehofft, dass ich dies ggf. jetzt noch machen kann, bevor ich das Volume Widerherstelle.

Hilfe?