So, das Problem scheint sich nun endlich gelöst zu haben. Die Lösung ist simpel, man muss aber erstmal drauf kommen:
Ich habe eine neue Erinnerung mit Datum und Uhrzeit angelegt. Das hat dazu geführt, dass die App nach der Erlaubnis gefragt hat, Mitteilungen zustellen zu dürfen.
Diese neue Erinnerung muss aber in der App manuell angelegt werden. Wenn man sie per Siri anlegt, wird die App nicht geöffnet und es erscheint entsprechend auch keine Abfrage bzgl. der Berechtigung.
In der Zwischenzeit konnten mir weder der Chat noch die Genius Bar im Apple Store weiterhelfen, beide haben ein Zurücksetzen des Telefons empfohlen, weil es sich um einen Softwarefehler handelt.
Ich habe mehrfach zurückgesetzt, jeweils mit und auch ohne iCloud-Backup bzw. einmal ganz ohne iCloud Login.
Das Phänomen war in allen Fällen reproduzierbar, insofern gehe ich nicht davon aus, dass spezifisch mein iPhone betroffen war. Ich nehme vielmehr an, dass es sich um einen Bug in iOS 18 handelt.
Wie auch immer, jetzt funktioniert das Gerät, wie es soll.
@Pi88no: Vielen Dank für deine Unterstützung!