Hola jesus2608,
A mí una vez también me pasó lo mismo. Dejame darte unos consejos a ver si te puedo ayudar y así disfrutar de tu iPhone como es debido!!
Antes de nada comprueba que en el iphone tienes marcado ver los contactos de icloud también. Para eso entra en la app contactos, y arriba a la izquierda pulsa en "grupos" y asegúrate que los de icloud están marcados. Por supuesto, ten siempre el iphone actualizado a la última versión, así que si no es así, ahora es el momento.
Prueba también a reiniciarlo, a cerrar la app de contactos (pulsar botón Home 2 veces, seleccionar la app contactos y deslizarla para arriba) y que la conexión de internet sea estable.
Tras esto, prueba a añadir un contacto desde el ordenador a ver si aparece en el iPhone y viceversa. Si sigue sin sincronizarse correctamente, ve a la app Ajustes, app contactos, y ahí verifica que la cuenta por omisión es la de Icloud, posteriormente prueba de nuevo a agregar otro contacto. Si sigue sin ir desactiva la sincronización de contactos en la App ajustes, apartado Icloud. Vuélvela a activar y comprueba añadiendo otro contacto si va.
Ten en cuenta que cada vez que añadas un contacto su sincronización puede no ser instantánea si posees un WIFI lento o muy poca batería.
Si tras todo esto no funcionase, deberías contactar con el soporte técnico, para ver si hay algún problema con tu cuenta, te dejo aquí el enlace: Soporte técnico oficial de Apple
Espero haberte ayudado!!
Saludos!