Creo que ya he dado con el problema, pero no con la solución. Os explico:
Me he instalado la app Infuse 5 en el Apple TV, por otro lado, mi router tiene una entrada USB, por lo que he conectado un disco duro externo al router; de esta forma puedo acceder al contenido del disco duro a través de Infuse.
Pero parece ser que el propio disco duro pide acceso a través de AirPlay, y a veces se enciende el Apple TV y me aparece el siguiente mensaje:
"Requisitos del dispositivo
Esta conexión AirPlay requiere iOS 7.1 o posterior, OS X 10.10 o posterior, o iTunes 11.2 o posterior."
Entiendo que esto me pasa porque si desconecto el disco duro, el problema desaparece, pero si lo vuelvo a conectar, se vuelve a encender solo.
Así que, mientras no encuentre otra solución, solamente conecto el disco duro cuando quiera usar Infuse, desconectándolo después.