Tranquilo Zacarías, vamos a seguir intentándolo.
La contraseña que te pedía probablemente sería la del firmware. Normalmente no está puesta, es posIble que la hayas añadido en algún momento y no te acuerdes, o si es un equipo de segunda mano, que el anterior dueño no ha quitado.
En cualquier caso, se puede quitar, pero si te parece vamos antes a lo que nos incumbe.
Vamos a probar algo más "drástico", con el Mac Mini en la televisión en cuestión que quieras poner, vamos a probar a reiniciar la NVRAM:
Apaga el Mac, vuelve a encenderlo e inmediatamente después mantén pulsadas durante unos 20 segundos estas cuatro teclas a la vez: Opción, Comando, P y R. En este tiempo puede parecer que el Mac se reinicia. (Si tu Mac emite un sonido de inicio al encenderlo, puedes soltar las teclas después del segundo sonido de inicio.)
Cuando el Mac termine de arrancar, puede que quieras abrir Preferencias del Sistema y ajustar las configuraciones que se han restablecido, como el volumen de sonido, la resolución de la pantalla, la selección del disco de arranque o la zona horaria.
Prueba y nos cuentas qué tal ha ido, si no, pensaremos más soluciones.
Animo y saludos