Problemas al tratar de instalar macOS en Mac

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Por lo que nos comentas, estas tratando de instalar macOS en tu MacBook Air 13" pero no puedes conectarte a la red Wi-Fi desde el modo recuperación y cuando lo consigues la conexión se pierde tras unos minutos.

Para tu caso, te recomiendo Instalar macOS desde un Instalador de Arranque siguiendo estos pasos (Necesitaras otro Mac y una unidad USB de entre 16 y 32 GB dependiendo de la versión de macOS):

1. Apaga tu Mac (si no puedes apagarlo, puedes intentar forzar el apagado pulsando: Control ⌃ + Option ⌥ + Command ⌘ + Expulsar (O botón Touch ID).
2. Con otro Mac descarga la versión de macOS que desee instalar, puede hacerlo desde la App Store mediante la barra de búsqueda o con los siguientes enlaces: Sonoma 14, Ventura 13, Monterey 12, Big Sur 11, Catalina 10.15, Mojave 10.14 o High Sierra 10.13 (Para versiones anteriores consulte aquí).
3. Cuando el software este descargado, acceda al Launchpad y busque una aplicación con el nombre de la versión de macOS que desea instalar.
4. Conecte la unidad USB al Mac (Todo su contenido se borrará)
5. Abra el Terminal desde la carpeta Utilidades del Launchpad
6. Escriba uno de los comandos adjuntos debajo, remplazando "MyVolume" por el nombre de su disco USB.
7. Cuando se le pida, introduzca al contraseña de administrador del equipo (recuerde pulsar intro).
8. El disco se formateara de forma automática y se le mostrara un progreso.
9. Una vez terminado, quizás Terminal le solicite acceso al disco, deberá concederle permiso para poder continuar.
10. Cuando el proceso concluya, salga del terminal y expulse el disco.
11. Inserte en Disco USB en el Macbook en el que desea instalar macOS
12. Encienda el Mac y mantenga pulsado el botón de Touch ID
13. Seleccione el disco con el nombre de la versión de macOS que desea instalar
14. Ahora, se abrirá el instalador de macOS y tendrá que ir siguiendo las instrucciones

Si lo anterior no funcionó, quizás se deba a un problema de la red Wi-Fi, quizás podría probar usando una cable de red conectando su Mac a su router mediante este cable.

En caso de no poder acceder a ningún otro Mac, le recomiendo acudir a una Apple Store o Distribuidor Autorizado de Apple donde le puedan ayudar a reinstalar macOS (desconozco si esto puede tener algún coste), puede buscar Apple Store y distribuidores autorizados mediante este enlace.

También, le adjunto algunos enlaces a artículos y vídeos del Soporte Técnico Oficial de Apple relacionados con su pregunta: Cómo descargar e instalar macOS - Soporte técnico de Apple (ES), Crear un instalador de arranque para macOS - Soporte técnico de Apple (ES), Funciones rápidas de teclado del Mac - Soporte técnico de Apple (ES) y Vídeo de Reinstalación de MacOS - Canal de YouTube Oficial del Soporte Técnico de Apple (EN).

🙂Espero haberte ayudado y quedo a tu disposición para otras dudas