Salut Riurius,
Juste pour être sûre de ne rien louper, c'est bien sur cette icône que tu tapes d'abord : 
Puis tu appuies sur ce micro par la suite, c'est bien ça ?

Tu dis que le message ne s'enregistre pas, que se passe-t-il exactement ? Le micro pulse de mon côté pour me montrer qu'il est prêt à enregistrer mon message, as-tu la même chose ?
Maintenant que j'y pense, as-tu le souci avec un seul contact ou plusieurs ?
En tout cas, le micro est autorisé par défaut pour l'app Messages et on sait qu'il n'a pas de souci puisque tout va bien sur les autres apps. Je n'ai également pas trouvé de réglage spécifique à l'envoi de messages vocaux.
Du coup, dans un premier temps, n'hésite pas à redémarrer l'iPhone, si tu ne l'as pas déjà fait. Ça parait tout bête comme ça, mais ça résout souvent les soucis passagers. Vérifie également si une mise à jour iOS est disponible et le cas échéant, installe-la. Pense bien à faire une sauvegarde avant.
Passe une bonne journée ❄️.