O problema ocorre a qualquer momento ou vc conseguiu perceber algo sobre ele ser correlacionado com o game?
Pela breve pesquisada que dei, cheguei ao forum da Riot e mais pessoas também tinham problemas com o LoL no Big Sur. Parece ser algo que necessite de um update por parte da Riot também para otimizar melhor o game pro novo sistema operacional, mas não saberia afirmar com certeza pois sequer sei que jogo é esse (sei que é famoso, mas não sou gamer haha).
Vi também o report do Etrecheck e ele acusou lentidão do sistema, mas ao ver ele todo, apenas consegui ver erros de travamento do LoL e do Chrome, nada mais que indicasse problemas.
Se desinstalar LoL segue tendo os problemas? Testa aí, remove ele, reinicia a máquina segurando Shift pra entrar em Safe Mode. Uma vez em SM, reinicia normalmente e veja como está a situação.
Você precisa do Chrome? Ele anda um devorador de RAM e performance, roda os games com ele fechado para liberar recursos para o game. Falando sobre Chrome em si, única coisa que sinto falta dele é pra usar o ublock origin. De resto, há muito tempo o Safari me entrega uma experiência melhor.