Inzwischen habe ich nach allen möglichen und unmöglichen Versuchen den Apple-Support angerufen.
Die Sitzung dauerte mehr als eine Stunde. Der Supporter hat mit Zugriff auf meine Geräte und meine ID eigentlich nichts gefunden...
Der Fehler wurde aber eingegrenzt, da ich das iPhone meiner Frau anschliessen konnte, welches beim Backup dann auch funktionierte.
=> Der Fehler musste bei meinem iPhone liegen.
=> iPhone komplett neu aufsetzen und als neues iPhone anmelden.
= Fehler behoben.
Voraussetzung ist natürlich, dass Kontakte, Kalender, Fotos und anderes vorher separat gesichert sind, da ja ein Backup nicht funktionierte.