Hatte soeben Kontakt mit Apple - sehr freundlich und nützlich.
Lösung: warum auch immer war beim Familienmitglied im Bereich: "Einstellungen-->(dann (Iphone6) ganz oben (Name, Apple-ID,iCloudusw.))-->Familienfreigabe--->(Name Familienmitglied) im Bereich "Käufe und Musik" die Apple ID des Organisators eingetragen, nicht aber die des Familienmitglieds. Wie das kam, ist rätselhaft, doch in diesem Feld muss die Apple ID des Familienmitglieds, nicht die des Organisators, eingetragen sein. Nach Änderung (durch drücken auf die blau gefärbte Mailadresse und Eingabe der richtigen Apple-ID des Familienmitglieds) funktioniert wieder alles.