iPhone 12 mini E-Mails erscheinen nicht automatisch, erst wenn ich App betätige.

Du musst den Datenabgleich aktivieren.

Gehe dazu in die Einstellungen - Mail - Accounts - Datenabgleich

Aktiviere hier für jeden Account Push bzw. Abrufen (je nachdem, was verfügbar ist). Wenn Push verfügbar ist, würde ich das bevorzugen. Im unteren Bereich kannst Du noch einstellen, wie oft e-Mails für die Accounts, die auf Abrufen stehen, abgerufen werden.