Da du mangels externem Display nicht feststellen kannst, ob deine GPU oder das Display defekt ist, steht nun der Gang zum Service an.
Du solltest eine versierte Computerwerkstatt aufsuchen, bei Apple selbst dürfte der Mac aufgrund seines Alters nicht mehr repariert werden.
Sollte das Display defekt sein, musst du mit Kosten von ca. 650€ rechnen. Das ist mMn nicht mehr wirtschaftlich. Ob, wie und zu welchen Kosten man die GPU reparieren kann, weiss ich nicht.
Meine Empfehlung: wenn du ihn dringend brauchst, kauf dir einen günstigen Monitor, dann kannst du ihn (wahrscheinlich) stationär weiter benutzen.