Du kannst auch mit der Musik App Deine Mediathek teilen. Unter Sonoma befindet sich die Einstellung in den
Systemeinstellungen - Allgemein - Medien Teilen
Ich kann mich leider nicht mehr erinnern, wo es unter Monterey zu finden war, aber vermutlich war es sehr ähnlich.
Wie Du eine Mediathek (Library) überträgst, hängt davon ab, ob die Medien in der Mediathek sind oder nicht. Öffne daher zunächst die Mediathek, die Du übertragen möchtest in der Musik App. Öffnen nun die Einstellungen und gehe auf den Reiter Dateien. Dort gibt es den Punkt Musik-Medienordner automatisch verwalten. Wenn dieser Punkt aktiviert ist, dann kümmert sie die Musik App (war unter iTunes nicht anders) um die Verwaltung der Medien.
Wenn der Punkt Musik-Medienordner automatisch verwalten aktiviert ist, dann musst Du den gesamten Mediathektsordner nehmen und diesen übertragen. Nun kannst Du auf dem anderen Mac die Library Datei per Doppelklick öffnen und prüfen, ob die Verknüpfungen noch stimmen.
Wenn der Punkt Musik-Medienordner automatisch verwalten nicht aktiviert ist, dann musst Du die Library - Datei übertragen und zusätzlich alle Mediendateien. Wenn Du die Mediendateien in einer gleichen Ordnerstruktur auf den neuen Mac ablegst, sollte die Musik App die Medien noch finden.
Nach der Übertragung einfach per Doppelklick die Library öffnen und prüfen, ob die Verknüpfungen da sind.