Hola Harold Ram!!
A mi me pasa lo mismo y supongo que a todos nos pasará. Yo tengo un iPhone, un Watch y un Mac. En los tres uso "Continuidad" y cuando recibo un SMS, éste aparece en los tres dispositivos, pero también los tengo que borrar en los tres. Después de mucho buscar entendí que "Continuidad" reenvía los SMS que llegan al iPhone (el único con tarjeta SIM) al resto de tus dispositivos. En ese momento, cada SMS reenviado se vuelve independiente en cada dispositivo.
Estas son las webs de Apple en las que me basé para entender lo que te he comentado antes:
Mensajes para iPhone, iPad, Apple Watch y Mac - Soporte técnico de Apple
Saludos!!