Hola Juliett_,
Entiendo que estás teniendo problemas para descargar/actualizar aplicaciones gratuitas luego de eliminar el método de pago.
Veo que no le aparece la opción de "Ninguna", por lo que intente cerrando sesión de su cuenta desde App Store y luego iniciando nuevamente. Esto debería refrescar su sesión en el teléfono. Puede seguir este tutorial, pero sólo cerrar la pestaña que dice "iTunes y App Store" Cerrar la sesión de iCloud en el iPhone, iPad, iPod touch, Apple TV o Mac - Soporte técnico de Apple
Si aún así no se soluciona, puede intentar apagando y volviendo a encender su dispositivo.
Si aún así no logra solucionar el problema, le recomiendo que se contacte con Apple por vía telefónica (números gratuitos en Skype) al número que corresponda a su país (o al más cercano a su ubicación), los números de contacto los puedes encontrar acá: Ponerse en contacto con Apple para obtener servicio y soporte técnico - Soporte técnico de Apple
Espero que esta información le haya sido de utilidad.
Nos cuenta cómo le fue, estaré pendiente.
Saludos!