Buenas, me sumo al mismo fallo.
No suelo utilizar FaceTime (anteriormente si y todo iba perfectamente) pero hoy lo he hecho y no funciona.
Estaba en Mojave y no me permitía iniciar sesión con mi ID (con el mismo mensaje de error que indica @lucía161), he formateado el Mac e instalado Catalina totalmente actualizado y lo mismo, por lo que entiendo que no es fallo del sistema operativo, sino fallo de la cuenta ID de Apple. Solo tengo un MacBook Pro (Retina 13 pulgadas, principios de 2015), por lo que no puedo confirmar si en otros dispositivos funciona o no.
Respecto a la solución que ha dado @Johann.B (Community Specialist), tampoco he entendido a que se refiere con:
...iniciar sesión en appleid.apple.com y seguir las instrucciones de esta página...
¿Qué instrucciones?
Y respecto a la solución de añadir el número de teléfono a nuestro perfil en Contactos, también lo he hecho y no me ha servido. De hecho, añado el número de teléfono con el prefijo nacional (+34 en mi caso) como indicáis, lo guardo, y cuando cierro la aplicación de Contactos y la vuelvo a abrir, el número desaparece, como si no se hubiese realizado la modificación.
Seguiré intentándolo y si encuentro la solución os la dejaré por aquí.
Un saludo.