Re, via un navigateur internet connectez vous à votre compte Apple:
Gérer votre identifiant Apple
Sur la page principale (Connexion et sécurité) il y a "Adresse de notification", voyez si l'adresse mail Gmail s'y affiche.
Si l'adresse Gmail s'y affiche c'est que le message "Votre nouvel identifiant Apple doit être différent de votre adresse e-mail de notification." correspond bien à la réalité.
En information complémentaire, actuellement et en toute logique l'adresse mail principale de votre compte Apple n'est pas fourni par Apple (en @icloud), donc comme vous désirez changer l'adresse mail vous pouvez éventuellement opter pour une adresse en @icloud.com.
Dans le cas ou vous possédez déjà une adresse mail en @icloud.com dans votre compte Apple > l'adresse en @icloud.com est une adresse secondaire du compte Apple, vous pourrez la choisir comme identifiant Apple principale.
Dans le cas ou vous ne possédez pas d'adresse mail en @icloud.com, vous pourrez en créer une, puis attendre 30 jours et l'utiliser comme adresse mail principale.
Pour créer une adresse mail en @icloud.com il faut activer l'option Mail iCloud dans le relagge iCloud de l'un de vos appareils Apple et suivre les instructions pour la créer.