Como voce mesmo disse seria interessante a restauração mesmo, pois seu caso e muito atípico e precisamos eliminar problema de software com a restauração.
Como fazer backup do iPhone, iPad e iPod touch - Suporte da Apple
Se não for possível atualizar nem restaurar o iPhone, iPad ou iPod touch - Suporte da Apple
Configure como novo sem puxar backup e veja se resolve
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Vinicius De Moraes