So, ich habe nun einen "Workaround" gefunden. Voraussetzung dafür ist, dass man ein Backup in die Cloud machen kann oder schon gemacht hat. Also vorher unbedingt in den Einstellungen überprüfen, ob ein aktuelles Backup vorliegt. Das findet man in iOS 10.3.3. unter Einstellungen > Allgemein > Speicher- & iCloud-Nutzung und hier unter ICLOUD > Speicher verwalten und unter BACKUPS auf das angeziegte Phone klicken, dann zeigt das nächste Fenster das letzte Backup an.
Liegt kein Backup vor, dann erst eins machen: Einstellungen > auf den eigenen Account oben klicken, dann iCloud > iCloud-Backup (Ein) > Backup jetzt erstellen
Und nun zum Workaround: Ich habe dann das iPhone zurückgesetzt unter Einstellungen > Allgemein > Zurücksetzen > Alle Inhalte & Einstellungen löschen.
Danach fährt das iPhone wieder hoch und fragt dann auch, ob das Backup aus der Cloud zur Wiederherstellung verwendet werden soll. Das hat dann auch funktioniert.
Jetzt habe ich nicht nur mehr verfügbaren Speicherplatz auf dem Phone sondern kann auch wieder ein Backup auf dem PC erstellen.