Hallo Lehmoni,
danke für deinen Post. Idealerweise sollte man sich von den Apple ID-Diensten abmelden, bevor diese umbenannt werden.
In deinem Fall würde ich mich von dem betroffenen Dienst abmelden und mit der umbenannten Apple ID und dem dazugehörigen Passwort wieder anmelden. Ich kann dir dazu den folgenden Artikel empfehlen: Vorgehensweise, nachdem du deine Apple-ID oder das Passwort geändert hast.
Vereinzelt kann es in so einer Situation zur Problemen bei der Anmeldung kommen. In so einem Fall hilft dir dieser Artikel: iCloud fragt nach dem Passwort zu deiner früheren Apple-ID.
Ich wünsche dir viel Erfolg und freue mich auf deine Antwort, ob es so funktioniert hat.
Liebe Grüße.