Hallo otto57!
Das ist schon seltsam. Wenn du dein iPhone schon auf iOS 16.1.1 hast sollte es eigentlich klappen. Versuchst du es bisher im WLAN oder bei mobilen Daten? Kannst du es mal mit mobilen Daten testen? Manchmal wird im Netzwerk etwas bestimmtes blockiert wodurch der Apple-ID Server nicht erreicht werden kann.
Versuche sonst mal dich komplett bei der iCloud abzumelden und erneut wieder anzumelden. Deine Daten bleiben ja auf der iCloud gespeichert. Dazu gehst du in die Apple-ID Einstellungen und dann unten auf "Abmelden": Danach startest du dein iPhone mal neu und meldest dich wieder frisch an.
Liebe Grüße