Hola Melcv!!
El comportamiento que describes de tu dispositivo es posible que se deba a algún tipo de inconveniente de software.
Si ya lo tienes actualizado y lo has restaurado con iTunes en un ordenador, prueba primero con soluciones sencillas antes de llegar a opciones más complejas.
Tras cada paso, comprueba si el fallo se ha solucionado o persiste.
Prueba de apagarlo y volverlo a encender pasados un par de minutos. Asegúrate de recordar el código de desbloqueo del dispositivo y el código PIM de tu tarjeta SIM. El dispositivo te los pedirá cuando se reinicie.
Si sigue fallando, hazle un reinicio forzado: mantén pulsados los botones de activación/reposo y el botón de inicio durante al menos diez segundos, hasta que veas el logotipo de Apple.
Si sigue fallando, también puedes probar a hacer una restauración limpia del dispositivo, sin restaurar ninguna copia de seguridad, no sea que algo haya corrupto en tu copia de seguridad y sea lo que provoca el mal funcionamiento.
Haz una copia de seguridad antes de nada y utiliza iTunes para restaurar el dispositivo como uno nuevo, sin restaurar la copia de seguridad.
Cuando el dispositivo quede activado, haz pruebas, a ver si sigue fallando o se ha resuelto el inconveniente.
Si no lo consigues solucionar, contacta con el soporte técnico de Apple para obtener ayuda. Desde este enlace puedes hablar con ellos: Contactar con el Soporte técnico de Apple. Escoge tu región en la zona inferior de la página. Y aquí: Ponerse en contacto con Apple, están los teléfonos del soporte técnico de Apple en todo el mundo. Llama al más cercano a tu región.
Ya nos contarás que tal te ha ido.
Saludos!!