Buenas Miriam:
Hace poco me paso lo mismo y si enciende tu equipo pero no actualiza lo que puedes hacer es ir actualizando a versiones superiores poco a poco. Es algo más lento, pero yo lo necesité hacer porque la aplicación Mac App Store no me permitía la actualización del sistema operativo... vamos que no aparecía por ningún lado.
Ve a esta página oficial de Apple en donde están las versiones oficiales de todos sus sistemas operativos https://support.apple.com/es_ES/downloads/macos y selecciona el que quieras (tu iMac de 2013 es compatible con la última versión de macOS Catalina). Una vez lo tengas descargado en tu iMac, haz doble clic en el archivo descargado y a continuación, otra vez en el archivo llamado InstallOS.pkg.
Sigue las instrucciones en pantalla y cuando termine el proceso ve a la carpeta aplicaciones de tu iMac. Ahí estará el instalador de la nueva versión de macOS que simplemente haciendo click, comenzará el proceso de instalación.
Un saludo y animo!!