Despues de actualizar mi Iphone a Ios16, la comparticion de pantalla con AppleTV sigue funcionando, pero cuando reproduzco desde las App de HBO, Disney o Amazon prime, sale un mensaje de error en la TV (en el Iphone funciona)

En mi caso no es así. Las Apps de HBO Max, Disney y Star+ se reproducían perfectamente en el Apple Tv Gen3 hasta que hice el upgrade de mi Iphone a IOS16 y recién a partir de ahí dejaron de funcionar. Sin embargo, otras apps como Youtube y Twitch siguen funcionando correctamente.

Eso lo comprendo, toma tu tiempo y dale un vistazo a este artículo , la compatibilidad de los Apple TV 3era generación ya no es posible con iOS 16

https://ipadizate.com/ios/ios-16-ha-roto-la-compatibilidad-con-airplay-en-los-apple-tv-antiguos

Esas apps como HBO Max, Amazon prime, Hulu y otras no permiten la reproducción de su contenido desde el iPhone a un Apple TV porque esas apps tambien se pueden instalar en los Apple TV 4HD y los 4k

Muchas gracias!!! Ese artículo explica exactamente lo que sucede. Esperemos que se solucione pronto. Muy buena la referencia.