Nachdem das aktuelle iOS-Update den Fehler nicht behoben hat, habe ich auf dem iPhone den GMX-Account gelöscht und anschließend neu eingerichtet. Er wurde automatisch als IMAP angelegt. Danach waren alle Postfächer wieder da, aber alle Mails auf dem iPhone verschwunden. Dann habe ich auf meinem iPad Air (mit iOS 12.4.2), bei dem in der Mail App alles okay war, ebenfalls den GMX Account gelöscht und neu als IMAP angelegt. Danach waren auch hier die gleichen Postfächer wie im iPhone verhandeln, aber alle Mails, die vorher auf dem iPad waren, waren immer noch da :)
Dann hab ich auf dem iPhone die Mail App geöffnet und siehe da: alle Mails, die auf dem iPad waren, sind jetzt auch auf dem Phone :)
Auf dem Phone, Pad und bei GMX direkt wird jetzt immer alles synchronisiert; auf einem der drei eine Mail löschen oder neu schreiben, und auf den beiden anderen wird das „gespiegelt“.
Nachteil: Mails, die man aufbewahren möchte, muss man in das Fach „Archiv“ schieben, sonst sind sie bei versehentlichem Löschen auf allen 3 „Geräten“ weg.
Auf dem PC habe ich deshalb den Account bei POP3 belassen, da der nicht synchronisiert wird.
Ich Danke allen, die hier zur Lösung beigetragen haben!