Moin, liebe Community!
Der Anruf beim Support heute ergab folgende Lösungsmöglichkeit (klappt laut Support nicht immer, bei meinem iPhone SE 2016 mit IOS 14.5 ging es zum Glück):
Den betroffenen Mail-Account auslagern über Einstellungen -> Allgemein -> iPhone-Speicher -> herunterscrollen zu "Mail" und auswählen -> App auslagern -> wieder installieren.
Bei zwei von drei GMX-Accounts hat es das Problem behoben. Der älteste GMX-Account war hartnäckiger. Den musste ich statt auslagern löschen (gleicher Weg wie für's auslagern, löschen wird etwas weiter unten nach "App auslagern" angeboten.
Nach Löschen und Wiedereinrichten ist auch hier das Lesen gesendeter Nachrichten (im Ordner "gesendete Nachrichten" und auch die BCC an mich gesendeten im Posteingang) wieder ok!
Beim Wiedereinrichten gab es noch ein neues Problem: iPhone bot bei GMX keine Auswahl von IMAP oder POP3 an. Ich sollte dann lt. Support einfach den Servernamen IMAP mit POP3 überschreiben. Das klappte nicht, mailen ging nicht und zack, war dann plötzlich die Telefonleitung vom Support unterbrochen, sowas ;-) Also allein weitergeforscht und Lösung gefunden: online bei GMX unter "Einstellungen" mobilen Zugriff deaktivieren, dann wird auf iPhone wieder die Auswahl POP3/IMAP angeboten. Fertig einrichten auf IPhone (alle Hinweise ignorieren) und sichern. Danach Zugriff bei GMX wieder erlauben, fertig :-)